Analytische Geometrie · Vektoren

Die Parametergleichung
von Ebenen

Eine Ebene entsteht aus einem Punkt und zwei Richtungen. Dreh die Szene, schieb an den Reglern – und sieh zu, wie der Punkt X über die Ebene wandert.

01

Von der Geraden zur Ebene

Eine Gerade kennst du schon: ein Aufpunkt, eine Richtung, ein Parameter. Lässt man den Parameter laufen, wandert man entlang der Geraden – das ist eindimensional. Was passiert, wenn wir eine zweite, unabhängige Richtung dazunehmen?

━ Gerade · 1 Richtung

x⃗ = p⃗ + r · u⃗

▰ Ebene · 2 Richtungen

x⃗ = p⃗ + r · u⃗ + s · v⃗

Aus einem Parameter wird eine Gerade. Aus zwei Parametern – eine ganze Ebene.

02

Die Grundidee: ein Punkt, zwei Richtungen

Eine Ebene ist festgelegt durch drei Zutaten:

p⃗ · Stützvektor
Der Aufpunkt – hier „starten" wir. Sein Ortsvektor zeigt vom Ursprung O zum Punkt P.
u⃗ · Spannvektor
Die erste Richtung, in die wir uns innerhalb der Ebene bewegen können.
v⃗ · Spannvektor
Die zweite Richtung – sie darf nicht parallel zu u⃗ sein.
x⃗ = p⃗ + r · u⃗ + s · v⃗   mit r, s ∈ ℝ

r · u⃗ bringt uns ein Stück in u⃗-Richtung, s · v⃗ ein Stück in v⃗-Richtung. Zusammen erreichen wir jeden Punkt der Ebene.

Wichtig: u⃗ und v⃗ müssen verschiedene Richtungen zeigen (linear unabhängig). Wären sie parallel, käme keine Ebene heraus, sondern nur wieder eine Gerade.
03

Selbst ausprobieren

Schieb an den Reglern für r und s und beobachte den Punkt X. Mit der Maus (oder dem Finger) drehst du die Szene.

Ziehen zum Drehen · Scrollen zum Zoomen
p⃗ Stützvektor u⃗ v⃗ X

Live-Rechnung

x⃗ = + s· + t·
⇒  x⃗ =
Tipp: Starte mit Knopf ① und arbeite dich zu ④ vor.
Eigene Vektoren eingeben
p⃗
u⃗
v⃗
⚠ u⃗ und v⃗ sind parallel – sie spannen keine Ebene auf, sondern nur eine Gerade!
04

Was bedeuten r und s?

r = 0 und s = 0

Im Aufpunkt

Beide Parameter null – es bleibt nur p⃗ übrig. Wir sitzen genau im Punkt P.

nur r verändern (s = 0)

Entlang u⃗

X wandert auf einer Geraden in Richtung u⃗ – eine der Linien im Gitter.

beide kombiniert

Jeder Punkt

Mit r und s zusammen erreichst du jeden Punkt der Ebene – das r-s-Gitter überdeckt die ganze Fläche.

Probier es oben aus: Knopf ② hält s = 0 fest und lässt r laufen, Knopf ③ umgekehrt. Schalte ruhig die Spur ein und die Ebene aus – dann „malst" du die Ebene Punkt für Punkt selbst heraus.

05

Zum Merken

x⃗ = p⃗ + r·u⃗ + s·v⃗ ,  r, s ∈ ℝ
  • p⃗ ist der Stützvektor (Ortsvektor des Aufpunkts P).
  • u⃗ und v⃗ sind die Spannvektoren – sie müssen linear unabhängig sein.
  • r und s sind frei wählbare reelle Parameter; jede Wahl liefert genau einen Punkt der Ebene.
  • Eine Ebene hat viele mögliche Parametergleichungen – Aufpunkt und Spannvektoren sind nicht eindeutig. (Manche Bücher schreiben statt r, s auch s, t oder λ, μ.)